Ce document destiné à des étudiants de licence explique quelques méthodes permettant de trouver numériquement les zéros de fonctions d'une variable réelle. Vous trouverez ici le fichier pdf doczero.pdf
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L'étude générale des fonctions à variables réelles nécessite de temps à autre la résolution d'équations de
type
. Autrement dit, nous sommes amenés à trouver les zéros de fonctions non linéaires,
c'est-à-dire les valeurs réelles
telles que
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On veut déterminer le volume
occupé par un gaz de température
et de pression
. L'équation
d'état (c'est-à-dire l'équation qui lie
et
) est :
Dans le cas le plus général, il s'agit de résoudre une équation non linéaire dont on n'est pas capable de trouver une solution exacte. Dans ce cas, on dispose de quelques méthodes numériques exécutables sur des logiciels comme Matlab , Maple , Scilab pour approximer la solution exacte. Ces méthodes numériques sont toutes basées sur la construction d'une suite convergeant vers un réel vérifiant . Dans ce document, nous allons traiter quatre méthodes: la méthode de dichotomie, de point fixe, de Newton, et de Lagrange. Pour le faire, nous avons besoin de quelques rappels d'analyse. | |
Une équation de type f(x) = 0 peut être écrite d'une manière équivalente sous la forme de g(x) = x. La fonction g est une fonction dépendante de f non unique comme le montre l'exemple suivant: Si la fonction g peut être
Les instructions Matlab suivantes permettent de tracer les représentations
graphiques de ces fonctions, y compris celle de la droite
y = x:
On voit bien que
f admet un unique zéro
et que les graphes des fonctions
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I-1 Préambule
I-2 Exemple motivant: équation d'état d'un gaz
I-4 Critère d'arrêt pour la résolution numérique de f(x) = 0 |
Définition
Un réel
est dit point fixe
d'une fonction
si
g(l) = l
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Définition
Soit
p un entier et
f une fonction
p fois dérivable.
Définition
Soit
. Une fonction
est dite fonction contractante de rapport
k si
Remarque
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Théorème
Soit
une fonction contractante de rapport
k. Alors
g admet un unique
point fixe
.
De plus, pour tout choix de
la suite définie par
converge vers
l quand
.
Etape 1: Existence de l et convergence de la suite
Remarquons d'abord que
ce qui implique que la suite
(xn) est
bien définie.
Soit
x0 dans
et
. Nous allons montrer:
Par hypothèse, on sait que
Etape 2: Unicité Soient l1 et l2 deux points fixes de g, donc alors ; comme k<1, ceci est impossible sauf si l1 = l2.
Remarque
Si
g est une application vérifiant
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Définition [fonction convexe]
Une fonction
est dite convexe sur I si
Proposition
Si
convexe, alors la fonction
Proposition
Si
est deux fois dérivable, alors:
Définition
On dit que
est concave sur I si
(-f) est convexe sur
I.
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Définition
Soit
une suite convergente vers
.
On appelle ordre de convergence de la suite
(xn) le réel fini ou infini
r>0 défini par:
Soit
. Soit la suite récurente
définie par
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Une fois construite la suite
(xn) convergeant vers vérifiant
g(l) = l, quand peut-on arrêter les itérations de l'algorithme numérique si l'on
désire déterminer une valeur approchée de
l avec une tolérance
fixée à l'avance. Un bon critère d'arrêt est le contrôle de l'incrément :
x0
x1
x3
x4
x5
x6
x7
x8
On constate que les valeurs nuériques se stabilisent et on a alors les valeurs approchées de
l1,
l2 et
l3
à environ
près.
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Considérons une fonction
f continue sur un intervalle
.
On suppose que
f admet une et une seule racine
dans
et que
f(a) f(b) < 0. On note
On recommence le processus en prenant l'intervalle au lieu de dans le premier cas, et l'intervalle au lieu de dans le second cas. De cette manière, on construit par récurence sur n trois suites (an), (bn) et (cn) telles que et telles que pour tout ,
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Théorème
Soit
f une fonction continue sur
vérifiant
f(a) f(b)<0 et soit
l'unique solution de l'équation
f(x) = 0. Si l'algorithme de
dichotomie arrive jusqu'à l'étape
n alors on a l'estimation:
Il suffit de remarquer qu'à chaque itération, on divise
l'intervalle par deux.
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Le principe de cette méthode consiste à transformer l'équation f(x) = 0 en une équation équivalente g(x) = x où g est une fonction auxiliaire "bien" choisie. Le point est alors un point fixe de g. Approcher les zéros de f revient à approcher les points fixes de g. Le choix de la fonction g est motivé par les exigences du théorème de point fixe. En effet, elle doit être contractante dans un voisinage I de , ce qui revient à vérifier que sur ce voisinage. Dans ce cas, on construit une suite définie par:
Il ne reste plus qu'à appliquer localement le théorème de point fixe pour démontrer que C'est l'objet du paragraphe suivant:
Méthode de point fixe
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Théorème
Soit
de
classe
. On suppose que
g admet un unique point fixe
vérifiant
. Alors il existe un voisinage
de
dans
I tel
que la suite
(xn) définie par:
converge vers .
Comme
il existe
tel que
. De plus,
g' est continue sur
I donc il existe
un voisinage
tel
que
Définition
Le réel
vérifiant les hypothèses du théorème précédent est
appelé point fixe attractif
de
g et le voisinage
correspondant est dit intervalle de convergence
de la méthode d'approximation.
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Proposition
En pratique, un intervalle de convergence
peut être calculé comme suit:
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Théorème
Soit
de
classe
. On suppose que
g admet un unique point fixe
vérifiant
. Alors il existe un voisinage
de
dans
I tel
que la suite
(xn) définie par:
ne converge pas vers .
Comme
il existe un voisinage
avec
h>0 tel que
. Donc
(xn) ne converge pas
vers
.
Définition
Le réel
vérifiant les hypothèses du théorème précédent est
appelé point fixe répulsif de
g.
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Définition
Soit
de classe
pour laquelle
est un unique point fixe
vérifiant
. Alors
est appelé point douteux de
g, car il peut être attractif ou
répulsif comme le montre les deux exemples suivants:
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Soit la fonction
g définie par
. On a
et
pour tout
la suite
itérée
(xn) définie par
est
strictement décroissante minorée par
0 donc convergeant vers
une limite
. Comme
g est continue et que
est l'unique point fixe de
g sur
.
Illustration graphique x = [-pi/2: 0.0001:pi/2]; g = inline('sin(x)'); plot(x, g(x), '--', x, x, '-') grid on; ylabel('g(x)'); xlabel('x'); axis on; title('graphe de g');
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Soit la fonction
.
On a
et pour tout
la suite
itérée
(xn) définie par
est
strictement croissante et non majorée donc divergente. Par conséquent,
le point fixe
de
g est répulsif.
Illustration graphique
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Comme nous avons expliqué dans l'introduction, la suite (xn) converge vers un réel vérifiant . En fixant la tolérance on estime qu'on atteint la précision dès qu'il existe tel que:
Néanmoins, la situation devient plus concrète lorsque g' est négative au voisinage de . En effet:
Proposition
Soit
de
classe
. On suppose que
g admet un unique point fixe
vérifiant
-1 < g'(x)<0 pour tout
x
dans un intervalle de convergence
de
. Soit la suite
définie par:
Alors: Par conséquent, soit n0 tel que alors approche à près.
On applique le théorème des accroissements finis à
g entre
xn et
. Il existe alors
cn entre
xn et
telle que:
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La méthode de Newton est une méthode particulière de point fixe. Elle
est basée sur l'idée de construction d'une suite
(xn) qui
converge vers
d'une manière quadratique. Rappelons que
d'après le
théorème
, si
g est une application
de
dans
,
on a les résultats suivants:
Poursuivons maintenant notre construction de la méthode de Newton. Considérons et . Posons
g(x) = x + h(x) f(x),
avec
tel que En résumé, si est telle que et , on prend pour x assez proche de et la fonction définie par: Remarque
La suite de Newton vérifie
y = f'(xn)(x - xn) + f(xn)
D'après
l'équation
,
est le point où
la droite
d intersecte l'axe
Ox.
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Nous allons annoncer un résultat de convergence globale ( x0 est quelconque dans le domaine de f) concernant la méthode de Newton pour des fonctions ayant une concavité déterminée (convexe ou concave). Théorème
Soit
de classe
vérifiant :
alors la suite (xn) définie par:
Les hypothèses
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Une fois construite la suite (xn) convergeant vers vérifiant et une fois fixée la tolérance nous cherchons le premier entier n0 vérifiant: | |
La méthode de Lagrange est une variante de la méthode
de Newton .
Soit
ayant une convexité déterminée. Rappelons que pour calculer un zéro
de
f
par la méthode de Newton, on considère la suite
(xn)définie par:
L'avantage de cette méthode est qu'elle ne nécessite pas le calcul de la dérivée f'. L'inconvénient est que nous perdons la convergence quadratique. La fonction g correspondante vérifie: | |
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Nous allons nous inspirer de l'exemple précédent pour présenter un théorème de convergence. Théorème
Soit
de classe
telle que
f' et
f'' soient strictement positives sur
. On suppose
que
On pose où
Méthode de Lagrange
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document sur les méthodes de résolution d'équations numériques f(x) = 0.
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Description: document sur les méthodes de résolution d'équations numériques f(x) = 0. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, analysis, équation, lagrange,newton,zéros, point fixe