Ce document présente quelques méthodes classiques de calcul numérique d'intégrales. Il est destiné à des étudiants de licence.
II Formules de quadrature et leur ordre IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature V Exemples de calcul numérique de l'ordre
Vous trouverez ici le fichier pdf de ce document docintegnum.pdf
|
Soit une fonction
intégrable. Nous nous
intéressons au calcul de son intégrale sur
:
| |
Soit
bornée et soit
Définition [Intégrale de Riemann]
La fonction
f est dite Riemann intégrable si
. Dans ce
cas, on note
le réel
et on l'appelle l'intégrale de Riemann
associée à
f.
Remarque
| |
Proposition
Si
est Riemann intégrable, alors
Remarque
Si
est continue alors
Théorème
Si
est continue alors
| |
La plupart des algorithmes numériques procèdent comme suit : on
subdivise l'intervalle
en plusieurs sous-intervalles
et on utilise le fait que
Il reste alors à calculer une approximation de | |
|
|
|
|
|
|
Définition
On dit que l'ordre ordre d'une formule de quadrature de la formule de
quadrature
est
p si
elle est exacte pour tous les polynômes de degré inférieur
ou égal à
p - 1, c'est-à-dire: pour
g polynôme de degré
,
On voit que les formules du point milieu et des trapèzes sont d'ordre 2. La formule de Newton-Cotes à s étages a un ordre p supérieur ou égal à s. Le tableau suivant résume l'ordre ainsi que les poids des différentes méthodes de quadrature pour
Ordre d'une méthode de quadrature
| |
Théorème
La formule de
quadrature
est d'ordre
p si et seulement
si:
La nécessité de
l'équivalence
) est une conséquence de
la
formule
)
si l'on pose
. Pour en montrer la suffisance, on
utilise le fait qu'un polynôme de degré
p-1 est une combinaison
linéaire de
et que l'intégrale
ainsi que l'expression
sont linéaires en
g.
| |
Remarque
| |
Théorème
Une formule de quadrature symétrique a toujours un ordre
pair: si elle est exacte pour les polynômes de
degré
, elle est exacte pour les polynômes de
degré
.
Chaque polynôme
g(t) de degré
peut être
écrit sous la forme
Donc l'approximation numérique de est également nulle.
| |
Ici nous allons exécuter sur Matlab quelques méthodes de quadrature classiques pour
approcher la valeur de l'intégrale
| |
On note
l'approximation de
par la méthode des
rectangles à gauche et
l'erreur commise. Voici un programme
Matlab qui calcule
et
:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Donnees %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Iexa = log(2); alpha = 1; beta = 2; N = 4; h = (beta - alpha)/N; x = [alpha:h:beta]; f = inline('1/x','x'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Corps du programme %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Irg = 0.0; for i = 1:N Irg = Irg + h*f(x(i)); end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Affichage des resultats %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Irg Erg = abs(Iexa - Irg) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Les résultats obtenus par ce programme sont: Irg = 7.595238095e-01 Erg = 6.637662896e-02 | |
On voit bien que l'erreur absolue obtenue par la méthode de Simpson
est beaucoup plus faible que celles obtenues par les deux autres. Ceci
confirme la règle: plus l'ordre de la méthode est grand, plus la
précision est bonne . | |
Pour étudier l'erreur commise en approchant une intégrale par
l'une des formules de quadrature, nous commençons par une
expérience numérique :
|
|
Prenons une fonction
f définie sur
, subdivisons l'intervalle en plusieurs
sous-intervalles équidistants (
) et
appliquons l'une des formules de quadrature du paragraphe
précédent. Ensuite, étudions l'erreur (en échelle
logarithmique),
en fonction du nombre d'évaluations fe de la fonction f pour Newton-Cotes : fe est défini par:
fe = N(s-1) + 1
Le nombre
fe
repésente une mesure pour le travail effectué par l'ordinateur. | |
|
Nous constatons que:
| |
Etudions d'abord l'erreur faite sur un sous-intervalle de longueur
h.
On considère la formule de quadrature d'ordre p. En supposant que f est suffisament différentiable, on peut remplacer f(x0 + t h) et f(x0 + ci h) par les séries de Taylor au voisinage de x0: s'appelle constante de l'erreur. Si on suppose que h est assez petit pour négliger devant , on obtient: | |
|
Dans ce paragraphe on s'occupe de l'estimation
exacte de l'erreur d'une formule de quadrature en vue de démontrer
les théorèmes de convergence et assurer une certaine précision
du résultat numérique.
Théorème [et Définition]
Soit une formule de quadrature d'ordre
p et un entier
k
vérifiant
. Considérons une fonction
de classe
, alors l'erreur
définie par la
formule
vérifie:
La formule de Taylor avec reste intégral appliquée à
f au point
x0 donne:
Remarque
Pour une formule de quadrature d'ordre
p et un entier
k
vérifiant
on a:
Les noyaux de Peano pour la méthode du point milieu sont donnés
par:
| |
Nous sommes maintenant en mesure d'estimer l'erreur commise pour
l'intervalle
tout entier et ceci pour une subdivision
arbitraire
. Rappelons que, comme dans la
formule
,
l'erreur est donnée par:
On a alors le théorème suivant: Théorème
Soit une formule de quadrature d'ordre
p et un entier
k
vérifiant
. Considérons une fonction
de classe
. Alors l'erreur
E(f) définie par
la
formule
vérifie
l'estimation suivante:
où .
La
formule
donne:
Pour la formule du point milieu, on a:
Remarque
Le calcul de
pour ces formules n'est pas
difficile. Considérons par exemple la formule de Newton-Cotes avec
s = 5. Nous constatons que
N6(s) ne change pas de signe sur
et en utilisant la
remarque
, nous obtenons:
Noyau de Peano
| |
Ici nous allons vérifier à l'aide de Matlab l'ordre de quelques
méthodes de quadrature déjà étudiées précédemment pour
approcher la valeur de l'intégrale
| |
|
|
|
Soit
une fonction de classe
. On
considère la méthode d'intégration numérique approchée
donnée par
On rappelle que par construction, les méthodes de Newton-Cotes sont les formules de
quadratures élémentaires de type
Construire les formules d'intégration numérique suivantes :
Déterminer leur noyau de Peano et en déduire l'erreur commise.
Soient
x1 et
x2 deux points de
et
et
.
On considére la formule d'itégration suivante :
On considère la formule d'intégration suivante :
On considére la formule d'intégration suivante :
|
document sur quelques méthodes d'intégration numérique (niveau licence).
: intégration numérique, riemann,lagrange,point milieu, trapèze, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity
Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne sont pas des fichiers HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE. Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.
Description: document sur quelques méthodes d'intégration numérique (niveau licence). interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, analysis, intégration numérique, riemann,lagrange,point milieu, trapèze