OEF v.a. réelle --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 6 exercices sur les variables aléatoires réelles. La plupart des exercices portent sur les variables aléatoires dont la loi est continue.

Aires et loi normale

La courbe représente la densité de la loi normale d'espérance et d'écart-type .

xrange , yrange -0.1, hline 0,0,black arrow ,0,-0.1,0,10,black arrow 0,-0.1,0,,10,black text gray, -0.1,0,,0

On note une variable aléatoire de loi normale d'espérance et d'écart-type .

L'aire du domaine colorié est la probabilité d'un des événements ci-dessous, lequel ?

L'aire du domaine colorié est la probabilité de l'évènement .

Calculer la probabilité de cet événement.

Calculer avec une loi à densité

1- Pour quelle valeur du paramètre , la fonction suivante est-elle une densité ?

si 0 < <
sinon

Bonne réponse ! Il faut et il suffit que

Soit une variable aléatoire de densité .

2- Calculer la probabilité que l'événement suivant se réalise :

Bonne réponse ! P( ) = .

3- Déterminer .

Densité et transformations d'une v.a.

La courbe suivante représente la densité d'une variable aléatoire .

Cliquez sur la courbe qui représente la densité de la variable aléatoire .

Calcul avec la loi normale

Soit une variable aléatoire de loi normale d'espérance et de variance . Donner l'expression de la probabilité de l'événement

à l'aide de la fonction de répartition de la loi normale prise uniquement en des valeurs positives ou nulles.

Exemple : si suit la loi , la probabilité que soit inférieure à -1 s'écrira .

Réalisation d'une variable aléatoire

On a tiré une réalisation d'une variable aléatoire de loi . On a obtenu . Si on recommence cette expérience, quelle est la probabilité d'obtenir une valeur ?

Transformation d'une v.a. à densité

Soit une variable aléatoire de loi . On considère la variable aléatoire = .

1- Quel type de variable aléatoire est ?

1- Bonne réponse ! est une variable aléatoire .

2- Compléter l'expression suivante de la fonction , pour que soit la fonction de répartition de = si < <

si leq

si geq

Compléter l'expression suivante qui définit la loi de si est entier et si leq

si n'est pas entier ou si ou si geq

NB : on écrira inf pour + infty et -inf pour - infty 2- Bonne réponse ! La fonction de répartition de est définie par :

si >

si leq

si < <

si leq

si geq

3- Compléter l'expression suivante de la fonction afin que ce soit une densité pour si > < <

sinon 2- Bonne réponse ! On a bien

si est un entier et si geq

{ ,..., } si

{ , }

sinon

3- Compléter l'expression suivante de la fonction , afin que ce soit la fonction de répartition de

si > leq

si <

si geq

NB : on écrira floor(x) pour désigner la partie entière de The most recent version

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Description: exercices oef sur les variables aléatoires réelles (loi continue et loi discrète). interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games

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