Raisonnements

Objectifs

Ce module est consacré au langage et au raisonnement en mathématiques ainsi qu'à la théorie des ensembles. Son objectif essentiel est que de donner tout son sens à une proposition écrite avec des symboles mathématiques et d'apprendre à les utiliser avec précision (et non comme des abréviations).

Documents

Guide

Outils de base

• Assertions
• Connecteurs
• Quantificateurs
• Implication
• Condition nécessaire, condition suffisante
• Contraposée
  • Contraposée
  • Contraposée et réciproque
  • Contraposée et réciproque : pièges de la vie courante

Assertions

• Il est jaune est une assertion incomplète, je ne pourrai jamais décider si elle est fausse ou vraie.
  Une assertion est une affirmation à laquelle on peut attribuer la valeur vraie ou fausse.
• Le stylo de Marianne est noir est par contre une assertion au moins s'il n'y a qu'une seule Marianne et qu'elle n'a qu'un seul stylo.
• $x$ est plus grand que $y$ est une assertion incomplète.
• Soit $x$ un homme, il est brun ou Tous les hommes sont bruns sont des assertions.
• $n^2\ge 4$ est une assertion incomplète.
• Tous les entiers naturels vérifient $n^2\ge 4$ est une assertion (fausse mais une assertion quand même !)
• $x^4-2x^2+1=0$ n'est pas une assertion complète. En tout cas, elle dépend du contexte dans lequel on se trouve.

Cependant, tous les exemples qui précèdent et qui sont pris dans le langage courant peuvent être sujet à caution, ils servent juste à faire le passage avec les mathématiques. Et même en mathématiques, on fait souvent ce qu'on appelle des abus de langage. Une autre différence entre la vie courante et les mathématiques est la suivante : une des règles du jeu mathématique est que ce qui n'est pas affirmé comme vrai ne doit pas être utilisé. Il n'y a donc pas de sous-entendu comme dans la vie courante. Par exemple, l'affirmation Les filles de ce cours sont excellentes ne dit ni ne prétend rien sur le niveau des garçons comparativement.

Connecteurs

Les connecteurs et et ou sont liés à l'intersection et à la réunion des ensembles et la négation est liée au complémentaire d'un ensemble Ce sont des moyens de produire une nouvelle assertion à partir de deux autres : par exemple

et <-----> {color= $X\cap Y$ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $X$ et à $Y$ ou <-----> {color= $X\cup Y$ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $X$ ou à $Y$ non <-----> {color= ${}^{\mathrm{cX}}$ est l'ensemble des éléments qui n' appartiennent pas à $X$.

Quantificateurs

Les quantificateurs sont

• quelquesoit noté $\forall$
• il existe noté $\exists$.

Les notions de limite et de continuité sont définies par des énoncés mathématiques utilisant des quantificateurs. Pour bien comprendre ces notions, il est important que le sens et l'usage de ces quantificateurs soient maîtrisés déjà dans les situations simples qui sont proposées ici.

Implication

Il est important de bien connaître le sens du symbole , c'est-à-dire de l' implication

En particulier, peut être vraie ou faux, il s'agit d'une assertion. Cependant, par abus de langage, il arrive à tout le monde de dire "On a " ou pire, " si , alors ...."

Condition nécessaire, condition suffisante

Quelques rappels sur conditions nécessaire, condition suffisante :

Dans le langage courant, condition nécessaire, condition suffisante, condition nécessaire et suffisante peuvent se dire d'autres manières en utilisant les mots si , seulement si...

Contraposée

• Contraposée
• Contraposée et réciproque
• Contraposée et réciproque : pièges de la vie courante

Contraposée

La contraposée de l'implication P Q est l'implication non Q non P . C'est une assertion équivalente à l'implication. Pour démontrer qu'une implication est vraie, il suffit de démontrer que sa contraposée implication l'est. Il arrive souvent que la propriété contraposée soit plus "évidente'' à l'intuition que la propriété elle même. Par exemple : Pour montrer que l'implication est vraie , il suffit de vérifier que est vraie, ce qui est évident.

L'étude de la contraposée peut aussi éclairer l'affirmation suivante:

si P est fausse, alors P est vraie.

En effet on admet plus facilement que si P est fausse, c'est-à-dire si non P est vraie, la contraposée non Q non P est vraie, puisque non P est vraie.

Une implication et sa contraposée ont donc même valeur de vérité.

Contraposée et réciproque

Il ne faut pas confondre la contraposée d'une implication avec l' implication réciproque :

Donnons un exemple en langage courant :

S'il pleut, le sol est mouillé a pour contraposée : si le sol n'est pas mouillé, il ne pleut pas énoncé plus couramment le sol est sec, donc il ne pleut pas.

Ces deux implications sont vraies et équivalentes. La réciproque est :

si le sol est mouillé, il pleut.

Cette implication est fausse, le sol peut être mouillé par le passage du camion municipal de nettoyage ou bien par de la neige qui a fondu.

Attention quand même aux pièges de la vie courante !

Contraposée et réciproque : pièges de la vie courante

Et en fait dans la vie courante de même que ce qui n'est pas dit est souvent sous-entendu, on confond très souvent contraposée et réciproque : par exemple, si on vous dit

si tu es sage ce matin, tu auras du chocolat cet après-midi

la contraposée est

Si tu n'as pas de chocolat cet après-midi, tu n'as pas été sage ce matin et la réciproque

Si tu as du chocolat cet après-midi, tu as été sage ce matin.

Enfin, la contraposée de la réciproque est

Si tu n'est pas sage ce matin, tu n'auras pas de chocolat cet après-midi.

Ce qui n'est pas équivalent à la première phrase. Mais c'est en général cette dernière affirmation qui est dans la tête de celui qui prononce la première (en appliquant des principes d'éducation positive !)

Raisonnements

• Règles de raisonnement
• Principe de récurrence
  • Raisonnement par récurrence : un exemple
  • Récurrence : exercices
  • Une récurrence fausse
• Raisonnement par l'absurde
• Raisonnement par disjonction des cas
• Un scénario de Lewis Carrol
• Un problème

Règles de raisonnement

Il y a trois règles (principes) suivants qui s'appliquent tout le temps :

• si P est vraie et P Q vraie, alors l'assertion Q est vraie.

  Cette règle est en fait une définition de ce que signifie qu'une implication est vraie. On l'emploie tout le temps sans même s'en rendre compte.

  Exemple

  Considérons la fonction f définie sur par f(x)= x³+1. L'implication f est dérivable sur f est continue sur est vraie. Comme f est dérivable sur , f est continue sur .
• Si P est vraie, si P Q vraie, si Q R est vraie, alors R est vraie.

  C'est ce qu'on appelle un syllogisme.

• Raisonnement par dichotomie ou séparation des cas : on essaye un cas puis l'autre. Le raisonnement par séparation des cas consiste à énumérer les cas possibles.

  Exemple

  Exercice : Trois frères Alfred, Bernard et Claude ont des crayons de couleur différente bleu, rouge et vert. De plus, les assertions suivantes sont vraies :

  1. Si le crayon d'Alfred est vert, alors le crayon de Bernard est bleu ;
  2. Si le crayon d'Alfred est bleu, alors le crayon de Bernard est rouge ;
  3. Si le crayon de Bernard n'est pas vert, alors le crayon de Claude est bleu
  4. Si le crayon de Claude est rouge, alors le crayon d'Alfred est bleu.

  Que peut-on conclure sur la couleur respective des crayons d'Alfred, Bernard et Claude? Y a-t-il plusieurs possibilités ?

  Aide : Faites l'hypothèse que le crayon d'Alfred est vert et voyez ce qu'on peut en déduire. Si vous en déduisez que le crayon d'un autre est à la fois de deux couleurs différentes ou que deux des frères ont des crayons de même couleur, c'est que cela n'est pas possible. Faites alors une autre hypothèse.

  Solution : Le crayon d'Alfred est rouge, celui de Bernard est vert et celui de Claude est bleu.

Les autres types de raisonnement sont

• le raisonnement par récurrence
• le raisonnement par l'absurde
• le raisonnement par tiers exclu

Raisonnement par l'absurde

Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut démontrer, puis par des déductions logiques (utilisant l'hypothèse) à aboutir à une absurdité.

Parfois on traite de raisonnement , par l'absurde, un simple raisonnement utilisant la contraposée. Par exemple,

• on veut démontrer que est vraie,
• on suppose non ,
• on finit par démontrer non et on se dit en contradiction avec mais ne nous a pas servi. Il n'y a donc pas de contradiction mais une simple contraposée.

Raisonnement par disjonction des cas

Pour montrer une propriété par disjonction des cas, on la prouve dans un nombre fini de cas, ces cas couvrant tous les cas possibles.

Un scénario de Lewis Carrol

Considérons le problème suivant sachant que chacune des assertions suivantes est vraie :

1. Ou le malfaiteur est venu en voiture, ou le témoin s'est trompé ;
2. Si le malfaiteur a un complice, alors il est venu en voiture ;
3. Le malfaiteur n'avait pas de complice et n'avait pas la clé ou bien le malfaiteur avait un complice et avait la clé ;
4. Le malfaiteur avait la clé.

Que peut-on en conclure ? Si on remplace la dernière par le malfaiteur n'avait pas la clé, peut-on conclure ?

Un problème