OEF arithmétique modulaire --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 38 exercices sur les calculs sur l'anneau fini ZZ/nZZ.

Trous d'addition

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.


Classes de congruences

?


Congruences avec un paramètre

Calculer le nombre modulo en fonction du chiffre .

Consigne : Dans la réponse, les entiers doivent être compris entre 0 et .


Trous cubiques

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.


Trous de division

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.


Division I

Calculer / dans ZZ/ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .

Division II

Calculer / dans ZZ/ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .

Division III

Calculer / dans ZZ/ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .

Diviseurs de zéro

Est-ce que est un diviseur de zéro dans ZZ/ZZ ?

Diviseurs de zéro II

Trouver l'ensemble des diviseurs de zéro dans ZZ/ZZ. (Dans cet exercice on ne considère pas le 0 comme un diviseur de zéro.)

Ecrire chaque élément par un nombre compris entre 1 et , et séparer les éléments par des virgules.


Diviseurs de zéro III

Nous avons =2, où est un nombre premier. Combien de diviseurs de zéro y a-t-il dans ZZ/ZZ ?

Dans cet exercice, on ne considère pas le 0 comme un diviseur de zéro.


Racines modulo p^2

Soit le polynôme . Il a deux racines et dans ZZ/ZZ. Calculer-les.
(on les donnera sous forme d'un entier compris entre 0 et ).

Soit dans ZZ. Calculer mod .
(les entiers apparaissant seront compris entre 0 et ). Vous avez trouvé mod . Ainsi, l'équation mod est équivalente à

mod .

Existe-t-il un unique entier compris entre 0 et , congru à modulo et tel que

mod ?

Réponse : L'équation mod est en effet équivalente à l'équation mod .

Calculer l'entier compris entre 0 et , congru à modulo et tel que mod . Combien y-a-t-il de solutions (modulo ) à l'équation mod qui soient congrues à mod ?


Inverse I

Trouver l'inverse de dans ZZ/ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .

Inverse II

Trouver l'inverse de dans ZZ/ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .

Inverse III

Trouver l'inverse de dans ZZ/ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .

Puissance inversible

est un nombre premier. La fonction  ZZ/ZZ  to  ZZ/ZZ définie par est-elle bijective ?

Divisibilité

On suppose que le nombre premier divise pour deux entiers et . Peut-on conclure que divise et ?

Equation linéaire modulaire

Soit l'équation dans ZZ

equiv mod

L'équation a-t-elle une solution ?

L'ensemble des solutions est de la forme ZZ avec un entier positif et un ensemble fini d'entiers de NN strictement inférieurs à . En prenant le plus petit possible, donner tous les éléments de . L'ensemble des solutions est de la forme ZZ avec un ensemble fini d'entiers de strictement inférieurs à . Donner tous les éléments de

 + ZZ ZZ

Remplacer le second membre par un autre entier de manière à ce que la nouvelle équation ait une solution.

Trous de multiplication

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.


Multiples spéciaux

Soit . Trouver le plus petit entier tel que l'entier qui s'écrit en base avec chiffres tous égaux à 1 soit un multiple de .

Multiples spéciaux II

Soit . C'est un nombre premier. Trouver le plus petit entier tel que l'entier qui s'écrit en base sous la forme avec fois le motif soit un multiple de .

Période d'un rationnel en base b

Le développement du rationnel écrit en base est périodique de période à partir de la première -ième "décimale". Quels sont tous les diviseurs premiers possibles du dénominateur de (dans l'écriture décimale) ?

Trous de polynôme

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.


Puissances

Calculer l'élément dans ZZ/ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .

Puissances II

est un nombre premier. Calculez l'élément dans ZZ/ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .

Trous de puissance

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.


Racines modulo

Soit le nombre premier . On désire calculer un entier tel que

equiv mod .


Racines

est un nombre premier. Il y a un élément dans ZZ/ZZ, tel que a soit congru à modulo . Trouver .

Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .


Racines de l'unité dans Z/pZ (I)

Soit l'équation

equiv 1 mod .

Calculer le plus petit entier tel que cette équation soit équivalente à

equiv 1 mod

et donner le nombre de solutions

Racines de l'unité dans Z/pZ (II)

Soit le système d'équations

Calculer le plus petit entier tel que cette équation soit équivalente à

equiv 1 mod .

Quel est le nombre de solutions modulo ?

Calculs simples dans Z/nZ

Calculer dans ZZ/ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .

Calculs simples modulo n

Calculer modulo . Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .

Carrés

Trouver l'ensemble des carrés dans ZZ/ZZ. (Un carré dans ZZ/ZZ est un élément qui est le carré d'un autre.)

Ecrire chaque élément par un nombre compris entre 0 et , et séparer les éléments par des virgules.


Somme et produit

Trouver deux entiers , tels que

0 , 0 ,

+ (mod ) , × (mod ) .

Vous pouvez entrer les deux nombres dans n'importe quel ordre.


Système linéaire modulo n II

Trouver toutes les solutions dans ZZ du système d'équations suivant

On écrira les solutions sous la forme
= * + *
= * + *
avec et dans ZZ.

Système linéaire modulo n I

Le système d'équations suivant

a-t-il une unique solution modulo ?

Système linéaire modulo n II

Trouver toutes les solutions dans ZZ du système d'équations suivant

On écrira les solutions sous la forme
= + * + *
= + * + *
avec et dans ZZ.

Trous de trinôme

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.

D'autres exercices sur : arithmétique modulaire  

The most recent version


Cette page n'est pas dans son apparence habituelle parce que WIMS n'a pas pu reconnaître votre navigateur de web.

Pour accéder aux services de WIMS, vous avez besoin d'un navigateur qui connait les formes. Afin de tester le navigateur que vous utilisez, veuillez taper le mot wims ici : puis appuyez sur ``Entrer''.

Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne sont pas des fichiers HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE. Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.

Description: collection d'exercices sur les anneaux Z/nZ. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games

Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, algebra, number theory, arithmetic, arithmetic, arithmétique, congruence, modulo