Inégalités
Objectifs
Majorer, minorer, encadrer, voici les techniques de base de l'analyse
et ce module a pour but de vous entraîner à ces techniques.
Il propose aussi une première approche de la définition de la limite.
Guide
Inéquations
Encadrements
Cours : La manipulation des inéqualités est l'occasion de nombreuses
erreurs. Ces manipulations s'appuient sur les propriétés de l'ordre de
.
Exercices : Ces trois exercices proposent d'encadrer des expressions en
et
connaissant un encadrement des nombres réels
et
.
-
Encadrement 1
-
Encadrement 2
-
Zone d'inégalité
Inéquations : Exercices
Exercice :
Sans étude de fonctions mais en utilisant les propriétés de
l'ordre de
, résoudre les inéquations suivantes :
-
On pourra s'aider d'un tableau pour enlever les valeurs absolues.
S=[-2;5]
-
Attention au signe du dénominateur !
Solution
-
Attention au signe du dénominateur !
Solution,
.
-
N'oubliez pas la quantité conjuguée !
Solution,
.
Inéquations : Exercices
Exercice :
Résoudre les inéquations :
-
-
La racine carrée est-elle définie ?
Solution
-
-
.
Exercices de déduction d'inégalités simples
Les exercices qui suivent demandent de montrer des choses simples mais obligent à décomposer en étapes et à réfléchir à chaque instant aux méthodes que l'on utilise et qui doivent ensuite être utilisées "sans réfléchir".
Exercices de déduction (I):
Exercices de déduction (II) :
Un pot pourri d'inégalités à résoudre
Exercices de déduction (III) :
Borner une fraction
Implication entre inégalités
Quel est le problème ?
Jusqu'à maintenant, vous avez dû résoudre des inéquations, c'est-à-
dire chercher tous les
x vérifiant une inégalité par exemple :
. L'ensemble des solutions
est
.
Dorénavant, vous allez devoir vérifier qu'une condition sur
x est
suffisante pour obtenir un certain encadrement d'une fonction, par
exemple :
L'implication suivante est-elle vraie ?
|
| La condition
signifie que
x est compris entre
1,5 et
2,5 et implique que
est majoré par 4,5, on peut donc écrire.
|
Quelles sont les méthodes ?
| Considérons une fonction numérique
f d'une variable
x, par exemple
Que peut-on dire
des variations de
f si
x varie
dans un intervalle donné
I par exemple [1;3] ?
On peut évidemment faire une étude complète de
la fonction mais souvent une estimation suffit.
|
|
Dans notre exemple,
f se présente comme une fraction : pour majorer
f, nous allons
-
majorer le numérateur
La manière la plus simple de majorer est
d'utiliser l'inégalité triangulaire : le numérateur est alors
majoré par
, (pour tout
y négatif,
est compris entre 0 et 1).
On peut aussi travailler un peu
plus et remarquer que si
x est dans [1;3], alors
est
compris entre 3 et 15 donc
x2+2x-9 est
compris entre -6 et +6) et le numérateur est majoré par 6. La
majoration est meilleure mais nous avons dû travailler un peu plus.
-
minorer le dénominateur
Sur l'intervalle [1;3]
[0;
], la fonction
sinus est positive donc
est compris entre 0 et
3 et le dénominateur qui vaut alors
est minoré par 4-3=1.
En conclusion, sur [1;3], on peut dire que la fonction est majorée
par 24 et même par 6 si on a été plus courageux.
Exercices
Exercice :
Démontrer les implications suivantes :
-
Solution
Par hypothèse le réel
x est dans l'intervalle [0;2],
l'inégalité triangulaire nous permet de majorer le numérateur :
D'autre part le dénominateur
vaut
6- x2 dans
l'intervalle considéré donc est minoré par 2.
-
Solution
Quand
x est positif, exp
(-x) est positif et majoré par 1.
Quand
x est supérieur à 16 alors
x6-20x2 est strictement
positif et minoré par
x6. On obtient donc
-
Solution
Par hypothèse,
x-2 est compris entre
-1 et
1 donc
est positif et minoré par
(la fonction cosinus est paire
de plus elle est décroissante entre 0 et 1) alors
que
x est minoré par
1.
On obtient donc
Approche de la limite
Approche de la définition de la limite
Question :
Dans quel intervalle autour de
a puis-je remplacer
f(
x) par
f(
a) sans commettre une erreur supérieure à
?
Par exemple, dans quel voisinage de
, est-on sûr de
pouvoir remplacer
par 2
en commettant une
erreur
inférieure à
?
- On peut s'aider de l'
aide graphique
par le tracé pour voir ce qui se passe
-
Il ne s'agit pas de résoudre une inéquation mais d'appliquer la
technique de majoration vue précédemment en faisant intervenir la
distance entre
x et
. Il n'est pas important de
trouver le meilleur voisinage.
-
L'intervalle cherché doit être contenu dans le domaine de définition
de la fonction, ici l'intervalle ne doit pas contenir 0. Il est donc contenu
dans
Prenons
et
transformons la différence en valeur absolue de
f(x) et de
:
Maintenant nous allons majorer
par une
constante sur un intervalle plus petit contenu
dans
.
Calcul de l'erreur
D'une part
est
minoré par 1, d'autre part si
x est supérieur à
alors
est inférieur à 4, donc
pour tout
x supérieur à
,
est majoré par
.
Si
x vérifie
,
x vérifie aussi
,
La majoration est donc valide et nous avons montré
l'implication suivante :
En résumé, si on choisit
x entre
et
, on peut dire que
vaut 2 à 10-3 près ou que l'erreur est au plus de 10-3.
Le travail central ici est le travail de majoration, en effet ensuite
la détermination de l'intervalle est immédiate. Nous pouvons utiliser
ce travail de majoration pour affirmer :
Comme notre
majoration n'est valide que pour
x supérieur à
, condition qui est vérifiée si
x appartient à
l'intervalle
;
on impose la condition
.
Pour que l'implication soit vraie, il suffit donc de prendre
.
Interprétation
Interprétation
L'énoncé mathématique obtenu
signifie que
tend vers
2 quand
x tend vers
.
Exercices
Exercice :
Aide visuelle
:
étant donné,
trouver
en étant aidé visuellement.
Exercice :
Donner une majoration raisonnable de
de la forme
où
n
est un entier et
C un réel positif (on pourra
si nécessaire imposer une condition à
) pour :
-
Solution
Si la condition
est vérifiée, on peut donc écrire :
-
Solution
Si
x est compris entre 1/2 et 3/2,
(on est alors sûr que la fonction est définie) ,
On minore
par
(faire un dessin sur la droite
réelle en plaçant
,
1,
et
2)
et on majore
par
.
On peut donc écrire que
si
x est compris entre 1/2 et 3/2 ,
-
Solution
La fonction est définie seulement si
x n'est pas nul, nous allons
donc prendre
x compris entre
et
,alors
est majoré
par
4(x-1)2
Exercice :
Soit
un réel strictement positif.
Dans chacun des cas traités au-dessus, proposer une valeur de
dépendant de
telle que
l'implication suivante soit vraie :
Solution
une introduction à la notion de limite
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Description: une introduction à la notion de limite interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, analysis, limite,inegalite,epsilon
