L'essentiel sur les puissances

Dans un premier temps, nous allons nous intéresser à la puissance d'un nombre $a$ quelconque.

Vous savez que $a+a+a=3a$, ce qui est une écriture bien pratique. La même idée existe quand on veut multiplier les nombres, ainsi

$a\times a\times a=a^3$

Votre sens de l'observation vous pousse ainsi à remarquer que dans le cas de l'addition, le nombre 3 est placé avant le nombre $a$, alors que pour la multiplication, il est placé après, est écrit plus petit et un peu en hauteur. On dit qu'il est écrit en exposant .

I Puissance d'un nombre

Quand nous saurons ce qu'est la puissance d'un nombre, nous nous intéresserons au cas particulier où notre nombre $a$ du départ prend la valeur particulière 10. Cela est très pratique et très utilisé en physique.

II Puissance de 10

Les bases essentielles ont été données dans le cours, et les premiers exercices vous ont permis de faire tourner les définitions.

Maintenant, nous allons vous proposer d'autres exercices, afin de bien se préparer... au brevet.

III Exercices

Découvrons cette notion plus précisément en commençant à nous intéresser au cas naturel où l'exposant est un entier positif.

I-1 Puissance avec un exposant entier positif

On sait bien, depuis la classe de cinquième, qu'il existe des nombres négatifs . On étend alors la notation précédente au cas ou l'exposant est négatif.

I-2 Puissance avec un exposant entier négatif

Nos nouvelles notions sont belles certes, mais en l'état elles sont un peu inutiles... Il faut arriver à faire en sorte de pouvoir les utiliser simplement dans des calculs. C'est le but de la partie ci-dessous.

I-3 Opérations sur les puissances

Définition [Puissance avec un exposant entier positif]

A

=

$5^3$

B

=

$(-9{)}^3$

C

=

$-2^2$

D

=

$-(-6{)}^2$

A

=

$\mathrm{NaN}$

B

=

$\mathrm{NaN}$

C

=

$\mathrm{NaN}$

D

=

$\mathrm{NaN}$

Remarque

Vocabulaire : On parle de $a$ puissance $n$ ou de $a$ exposant $n$ .

Exercice

Définition [Puissance avec un exposant entier négatif]

A	=	$4^{-3}$
A	=	${\displaystyle \frac{1}{4^{\mathrm{NaN}}}}$
( A	=	)

Remarque

Exercice

Théorème

A	=	$(-3{)}^{-4}\times (-3{)}^3$		B	=	${\displaystyle \frac{2^{-2}}{2^{-3}}}$		C	=	${((-4{)}^{-5})}^2$
A	=	$(-3{)}^{-4+(3)}$		B	=	$2^{-2-(-3)}$		C	=	$(-4{)}^{-5*(2)}$
A	=	$(-3{)}^{\mathrm{NaN}}$		B	=	$2^{\mathrm{NaN}}$		C	=	$(-4{)}^{\mathrm{NaN}}$
(A	=	)		( B	=	)		( C	=	)

Exercice

Théorème

Remarque

A	=	${(2\times 4)}^5$		B	=	${\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^3$
A	=	$2^5\times 4^5$		B	=	${\displaystyle \frac{4^3}{5^3}}$
(A	=	)		( B	=	)

Exercice

Comme nous l'avons dit en présentation, les puissances de 10 jouent un rôle important. Cette valeur 10 est à rapprocher du fait que notre système de nombre est à base décimale (base 10).

II-1 Écriture décimale

La notation scientifique est bien pratique et très utilisée en physique. À maîtriser absolument !

II-2 Notation scientifique

L'ordre de grandeur est à rapprocher de la notation scientifique.

Il est assez naturel pour des choses quotidiennes ; par exemple, nous dirons volontiers qu'un bureau mesure 1 mètre 50. Tout le monde se moque de savoir si en fait une meilleure mesure dit que ce même bureau mesure 1 mètre 48centimètres et 8 millimètres !

C'est cette même idée que l'on développe pour des mesures qui elles ne sont pas du quotidien, c'est-à-dire de l'infiniment grand ou de l'infiniment petit, afin de mieux s'approprier ces nouvelles notions.

Le physicien (et donc l'élève qui apprend) doit avoir une idée des ordres de grandeur des objets sur lesquels il travaille.

II-3 Ordre de grandeur

Comme pour les puissances d'un nombre, cette nouvelle notion de puissance de 10, ainsi que la notation scientifique et l'ordre de grandeur qui lui sont attachées, n'est utile que parce qu'elle permet de faire des calculs facilement.

C'est ces règles de calcul qui sont expliquées dans le paragraphe suivant.

II-4 Opérations sur les puissances de 10

Théorème

A	=	${10}^4$		B	=	${10}^{-1}$
A	=			B	=	$0,1$

Exercice

Définition [Notation scientifique]

A	=	$317691.2$
A	=	$3.176912\times {10}^5$

Exercice

Lorsqu'on dit que la vitesse de la lumière est de 300 000 000, m/s, on utilise un ordre de grandeur car elle est en réalité de 299 792,458 km/s.

Souvent on utilise comme ordre de grandeur, le produit de l'entier le plus proche du décimal de l'écriture scientifique par la puissance de 10 de cette écriture scientifique, comme le montre l'exemple ci-dessous.

Exemple

Exercice

Théorème

A	=	${10}^{-4}\times {10}^3$		B	=	${\displaystyle \frac{{10}^4}{{10}^5}}$		C	=	${\left({10}^3\right)}^{-2}$
A	=	${10}^{-4+(3)}$		B	=	${10}^{4-(5)}$		C	=	${10}^{3*(-2)}$
A	=	${10}^{\mathrm{NaN}}$		B	=	${10}^{\mathrm{NaN}}$		C	=	${10}^{\mathrm{NaN}}$
(A	=	)		( B	=	)		( C	=	)

Exercice

Exercice