\qquadOdkryte przez Hubble'a prawo ekspansji Wszechświata: v = H \cdot d nasuwa wniosek, że istnieje pewna maksymalna odległość d_{max}, przy której prędkość oddalania się obiektów równa się prędkości światła (v = c) . Gdyby parametr Hubble'a był wielkością stałą w czasie (H = H_0) to obliczenie owej maksymalnej odległości byłoby trywialne d_{max}=\frac{c}{H_0}. Jednak chodzi o to że sygnał docierający do nas z tak ogromnej odległości, z uwagi na skończoną prędkość rozchodzenia się światła, musiał być wyemitowany dużo wcześniej niż w chwili gdy do obserwujemy. Więc stała Hubble'a podczas wyemitowania sygnału (raczej należało by nazywać ją parametrem Hubble'a) miała inną wartość niż dziś, czyli H = H(t) i fakt ten trzeba uwzględniać.

\qquadPrzy uwzględnieniu tego można znaleźć obecną odległość d_0 do obiektu o redshifcie równym z. Dla wszechświata o geometrii euklidesowej k=0 (i \Lambda = 0 )formuła ta ma postać: %MATHMODE{d_0=\frac{2c}{H_0}( 1-\frac{1}{\sqrt{z+1}}) \qquad (1)}% więc gdy v \rightarrow c to z \rightarrow \infty czyli d_0 \rightarrow d_{max}=\frac{2c}{H_0} Jednocześnie dla Wszechświata płaskiego czynnik skali S(t) \sim t^{\frac{2}{3}} i H(t)=\frac{2}{3t}.

Rozwiązując to zagadnienie, stosując metrykę Robertsona-Walkera dla pozostałych geometrii wszechświata (hipersferycznej i hiperbolicznej), gdzie czynnik skali zależy od czasu t: %MATHMODE{S=S(t) \qquad (2)}% Zakładając że:

- Układ współrzędnych współporuszających (\sigma,\theta,\phi)

- Obserwator fundamentalny - pozostaje w spoczynku względem (\sigma,\theta,\phi)

Interwał czasoprzestrzenny: %MATHMODE{ dl^2=c^2dt^2-S^2(t)\Big(\frac{d\sigma^2}{1-k\sigma^2}+\sigma^2d\psi^2\Big) \qquad (3)}% %MATHMODE{d\psi^2=d\theta^2+sin^2\theta d\phi^2 \qquad (4)}% Dla uproszczenia zakładając że sygnał świetlny porusza się od punktu emitującego promieniowanie (\sigma_\star,0,0) do obserwatora (0,0,0) a więc równanie (4) wynosi zero czyli odległość między tymi punktami wynosi: %MATHMODE{dl^2=S^2(t)\Big(\frac{d\sigma^2}{1-k\sigma^2}\Big) \qquad (5)}% więc: %MATHMODE{l_\star=S(t) \Biggl\{ \ { \rm arcsin\sigma_\star \qquad \ dla \qquad \ k=1 \atop arcsinh\sigma_\star \qquad dla \qquad k=-1} \qquad (6)}% oraz: %MATHMODE{l_\star=S(t)\sigma_\star \qquad \rm dla \qquad k=0 \qquad (7)}% \qquadW przypadku rozpatrywania horyzontu cząstek z definicji część czasowa interwału czasoprzestrzennego wzór (3) równa się części przestrzennej, więc równanie to wynosi zero (dl^2=0). Czyli gdy założy się że sygnał świetlny od chwili startu (t=0) z punktu (0,0,0) osiągnie w chwili (t=t_0) punkt (\sigma_{p,0},0,0) (rozpatrywany jest przypadek maksymalnej odległości jaką mógł przebyć sygnał świetlny od początku Wszechświata) uzyskuje się: %MATHMODE{\int_{0}^{\sigma_{p,0}}\frac{d\sigma}{\sqrt{1-k\sigma^2}}=\int_0^t\frac{cdt}{S(t)} \qquad (8)}% Rozmiar własny obecnego horyzontu cząstek: %MATHMODE{L_p(t_0)=S_0\chi_0 \qquad (9)}% Tempo powiększania się L_p z upływem czasu t: %MATHMODE{\dot{L}_p=\dot{S}(t)\chi(\sigma_p)+S(t)\dot{\chi}(\sigma_p)=H(t)L_p(t)+c \qquad (10)}% Czyli w tych współrzędnych prędkość frontu fali świetlnej porusza się szybciej od c. W modelu Wszechświata o indeksie krzywizny równym 0 (k=0) gdzie czynnik skali S(t) \propto t^\frac{2}{3}: %MATHMODE{S(t)=S_0\Big(\frac{t}{t_0}\Big)^\frac{2}{3} \qqaud (11)}% %MATHMODE{L_p=S(t)\chi(\sigma_p)=3ct \qquad (12)}% jest to właśnie odległość do horyzontu kosmologicznego w euklidesowym wszechświecie. Inaczej mówiąc jest to wielkość obserwowanego Wszechświata. Wartość własna wybranego interwału przestrzennego: %MATHMODE{l_\star=S(t)\chi(\sigma_\star)=S_0\sigma_\star\Big(\frac{t}{t_0}\Big)^\frac{2}{3} \qquad (13)}% \qquadWynika z tego że prędkość ruch frontu fali świetlnej wynosi 3c. Należy zauważyć że rozmiar horyzontu L_p \propto t podczas gdy ekspansja Wszechświata S(t) \propto t^\frac{2}{3}, czyli rozmiar horyzontu rośnie szybciej niż ekspansja. Więc z biegiem czasu coraz to większy obszar Wszechświata staje się dostępny obserwacjom, by po nieskończenie długim czasie mógł być obserwowany cały Wszechświat.

\qquadWszechświat o geometrii hipersferycznej ma skończoną objętość i do chwili t=t_{max} , w której wszystkie odległości osiągają maksimum l(t_{max})=l_{max} w zasięgu horyzontu znajdzie się cała przestrzeń. Później, w fazie kurczenia się przestrzeni, obserwator najdalsze obiekty będzie widział "podwójnie" \ czyli z dwóch przeciwnych kierunków. Będą to obiekty położone wokół antypodów obserwatora i obszar ten będzie stopniowo narastał. Natomiast w modelu hiperbolicznym nawet po nieskończonym czasie nie będzie można widzieć całej nieskończonej przestrzeni. \qquadW chwili gdy Wszechświat miał 300000 lat powstało CMB i większość fotonów od tego momentu podróżowała po linii prostej. Fotony te przynoszą obraz Wszechświata z tamtej chwili, pokazując że był on niewiarygodnie jednorodny, ponieważ temperatura promieniowania jest taka sama we wszystkich kierunkach z dokładnością 1 na 100000.

\qquadGdyby Wszechświat był statyczny odległość do horyzontu w chwili powstania CMB byłaby 300000 lat świetlnych, lecz istnieje ekspansja więc horyzont osiągnął wtedy wielkość 900000 lat świetlnych. Jeśli rozważyć dwa fotony docierające teraz do obserwatora z dwóch przeciwnych kierunków na niebie, ich mała różnica temperatury wykazuje że w chwili wyemitowania tego fotonu oba obszary emisji musiały być w równowadze termodynamicznej. Jednak ponieważ te dwa sygnały świetlne dopiero teraz docierają do nas, nie mogły pokonać całej drogi dzielącej je od przeciwległej strony nieba. Nie upłynęło więc wystarczająco dużo czasu, by obszary leżące po przeciwnych stronach nieba mogły w jakikolwiek sposób ze sobą oddziaływać. Wydaje się że nie należy tłumaczyć ich jednakowej temperatury ustaleniem się między nimi równowagi termicznej. Sytuacja jest nawet jeszcze bardziej beznadziejna, ponieważ obszary, które mogły ze sobą oddziaływać i wyrównać warunki termiczne musiały to robić zanim powstało CMB czyli gdy światło było w stanie przebyć o wiele mniejszy odcinek drogi. Mianowicie obszary leżące w odległości większej niż 1^\circ nie mogły ze sobą oddziaływać przed rozprężeniem (powstaniem CMB) i w wyniku czego nie mogły osiągnąć równowagi.

\qquadZagadnienia tego nie daje się wyjaśnić inaczej niż za pomocą teorii inflacji. Gdy Wszechświat miał 10^{-35}s, rozpoczęła się era inflacji: okres niezmiernie szybkiego rozszerzania się, podczas którego Wszechświat zwiększył się co najmniej 10^{50} razy. Jednorodność CMB tłumaczy się tym iż początkowo bardzo małe obszary będące w równowadze termodynamicznej zostały rozdęte do gigantycznych rozmiarów na skutek szybkiej inflacyjnej ekspansji, a obszar Wszechświata, który dzisiaj obserwujemy jest właśnie tym rozdętym małym obszarem.

Zobacz też:

Bibliografia: zobacz biblio na NiestabilnoscGrawitacyjna

-- RoWia - 01 Mar 2004

This topic: Main > TWikiUsers > RoWia > ProblemHoryzontu
Topic revision: 12 Mar 2004, BoudRoukema
 
This site is powered by FoswikiCopyright © CC-BY-SA by the contributing authors. All material on this collaboration platform is copyrighted under CC-BY-SA by the contributing authors unless otherwise noted.
Ideas, requests, problems regarding Foswiki? Send feedback